Question

8．如图所示，AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC与△AOB全等，且二面角B-AO-C是直二面角，动点P在线段AB上，则CP与平面AOB所成角的正切的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由CO⊥平面AOB，得∠CPO是CP与平面AOB所成的角，当OP最小时，tan∠CPO最大，由此能求出CP与平面AOB所成角的正切值的最大值．

解答 解：∵AO⊥平面BOC，∠OAB=30°，△AOC与△AOB全等，且二面角B-AO-C是直二面角，
∴∠BOC=90°，
则CO⊥平面AOB，
连接CP，OP，
则∠CPO是CP与平面AOB所成的角，
设OB=OC=1，则AB=2，OA=$\sqrt{3}$，
且tan∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴当OP最小时，tan∠CPO最大，
即OP⊥AB，∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}×1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{OP}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即tan$∠CDO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CP与平面AOB所成角的正切值的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正切值的最大值的求法，根据定义作出线面角，利用三角形的边角关系进行转化是解决本题的关键．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．