Question

5．当x＞0时．求y=$\frac{x}{4{x}^{2}+1}$的最大值．

Answer 1

分析 函数化为y=$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}}$，利用基本不等式求出$4x+\frac{1}{x}$的最小值，注意等号成立的条件，即可得出y的最大值．

解答 解：y=$\frac{x}{4{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴$4x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4，
当且仅当4x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{1}{2}$，取得等号．
∴y=$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{4}$，
即y=$\frac{x}{4{x}^{2}+1}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，属于基础题．