Question

1．在直三棱柱ABC-A'B'C'中，底面是边长为a的正三角形，AA'=$\sqrt{3}$a，则直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{39}}}{39}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{39}$
• D． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$

Answer 1

分析 取A'C'的中点D，连接B'D，AD，由线面垂直的性质和判定定理，得到B'D⊥平面AC'，则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，再由解直角三角形的知识，即可得到所成的角．

解答 解：取A'C'的中点D，连接B'D，AD，
则由底面边长为a的正三角形，
得，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，B'D⊥A'C'，
在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，
则AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，
则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，
在直角三角形B'AD中，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\sqrt{（\sqrt{3}a）^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
则tan∠B'AD=$\frac{B′D}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{13}}{2}a}$=$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$，
故选：D

点评 本题考查空间直线与平面所成的角的求法，根据线面角的定义作出平面角是解决本题的关键．考查运算能力，属于中档题．