Question

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=

cosπx，x∈[0， 1 2 ] 2x-1，x∈( 1 2 ，+∞)

，则不等式f（x）≤

1

2

的解集为（　　）

• A、[-

  3

  4

  ，-

  2

  3

  ]∪[

  2

  3

  ，

  3

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• C、[-

  7

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  7

  4

  ]
• D、[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]

Answer 1

考点：其他不等式的解法,分段函数的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：当x∈[0，

1

2

]时，根据余弦函数的图象求出f（x）≤

1

2

的解集，当x＞

1

2

时，求出f（x）≤

1

2

的解集，可得当x≥0时，不等式f（x）≤

1

2

的解集．再根据偶函数的性质，
求得当x＜0时，f（x）≤

1

2

的解集，综合可得结论．

解答： 解：当x≥0时，若x∈[0，

1

2

]，则πx∈[0，

π

2

]由不等式f（x）≤

1

2

，可得cosπx≤

1

2

，
可得

π

3

≤πx≤

π

2

，∴

1

3

≤x≤

1

2

，它的解集为[

1

3

，

1

2

]．
若x＞

1

2

，不等式f（x）≤

1

2

，即2x-1≤

1

2

，它的解集为{x|

1

2

＜x≤

3

4

}．
综上可得，当x≥0时，不等式的解集为{x|

1

3

＜x≤

3

4

}，
再根据f（x）为偶函数，可得在R上，不等式的解集为{x|

1

3

＜x≤

3

4

，或-

3

4

≤x＜-

1

3

}，
故选：B．

点评：本题主要考查分段函数的应用，函数的奇偶性的性质，三角不等式的解法，余弦函数的图象，属于基础题．