Question

已知常数a＞0，函数f（x）=lnx-

2ax

x+2

．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）＞-6ln2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）先求出f（x）的定义域，对f（x）进行求导，求出f（x）的导数，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f′（x）=0的两个根为x₁，x₂，代入f（x₁）+f（x₂），对其进行化简，求证即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

2ax

x+2

，
∴f′（x）=

1

x

-

2a(x+2)-2ax

(x+2)2

=

1

x

-

4a

(x+2)2

=

x2+4(1-a)x+4

x(x+2)2

，
设g（x）=x²+4（1-a）x+4，△=16a（a-2），
①当0≤a≤2，△≤0，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＞2时，△＞0，f′（x）=0可得x₁=-2（1-a）-2

a2-2a

，x₂=-2（1-a）+2

a2-2a

，
若f′（x）＞0可得0＜x＜x₁或x＞x₂，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得＜x₁＜x＜x₂，f（x）为减函数，
∴函数f（x）的增区间为（0，x₁），（x₂，+∞）；减区间为（x₁，x₂）；
（2）由（1）当a＞2，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4（a-1），x₁x₂=4，
∴f（x₁）+f（x₂）=lnx₁-

2ax1

x1+2

+lnx₂-

2ax2

x2+2

=ln（x₁x₂）-

4ax1x2+4a(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln4-2a=2ln2-2a，
∴2ln2-2a＞-6ln2，∴a＜4ln2．
∴0＜a＜4ln2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值，体现了数学转化思想方法，考查了函数零点的判断，是压轴题．