Question

已知f（x）=x²-x+a+1．
（1）若f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）＞0对区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）＞ax-x对区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围；
（4）若f（x）在区间[a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由△=1-4（a+1）＜0，解出即可；
（2）先求出f（x）在[1，2]递增，从而只需f（x）_min＞0即可，解不等式从而求出a的范围；
（3）令g（x）=f（x）-ax+x=x²-ax+a+1，对a分情况讨论，从而求出a的范围；
（4）由对称轴x=

1

2

，只需a≥

1

2

，或a+1≤

1

2

，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）＞0对一切实数x恒成立，
∴△=1-4（a+1）＜0，解得：a＞-

3

4

，
∴实数a的取值范围是（-

3

4

，+∞）．
（2）∵f（x）的对称轴x=

1

2

，开口向上，
∴f（x）在[1，2]递增，
∵f（x）＞0对区间[1，2]上恒成立，
∴只需f（x）_min=f（1）=a+1＞0即可，解得：a＞-1，
∴实数a的取值范围是（-1，+∞）．
（3）令g（x）=f（x）-ax+x=x²-ax+a+1，
∴函数图象开口向上，对称轴x=

a

2

，
①当

a

2

＜1，即a＜2时，函数f（x）在（1，2）递增，
∴f（1）＞0，解得：-1＜a＜2，
②1≤

a

2

≤2，即2≤a≤4时，f（x）_min=f（

a

2

）＞0，解得：2≤a≤4，
③

a

2

＞2，即a＞4时，函数f（x）在（1，2）递减，
∴f（x）min=f（2）=5-a＞0，解得：a＜5，
综上：实数a的取值范围：（-1，5）．
（4）∵f（x）=x²-x+a+1，对称轴x=

1

2

，
若f（x）在区间[a，a+1]上是单调函数，
∴只需a≥

1

2

，或a+1≤

1

2

，即a≤-

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，-

1

2

），（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．