题目内容
（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC1
（Ⅱ）求二面角C1-AB-C的正切值
（Ⅲ）求点B到平面AB1C1的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥BC1．
（Ⅱ）求出平面ABC1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C1-AB-C的正切值．
（Ⅲ）求出平面AB1C1的法向量和
，利用向量法能求出点B平面AB1C1的距离．
（Ⅱ）求出平面ABC1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C1-AB-C的正切值．
（Ⅲ）求出平面AB1C1的法向量和
| BA |
解答：
（文）（Ⅰ）证明：
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B1（0，2，2），
B（0，2，0），C1（0，0，2），
=（-2，2，2），
=（0，-2，2），
•
=0-4+4=0，
∴AB1⊥BC1．
（Ⅱ）解：
=(2，0，-2)，
=(0，2，-2)，
设平面ABC1的法向量
=（x，y，z），
则
，取x=1，得
=（1，1，1），
又平面ABC的法向量
=（0，0，1），
设二面角C1-AB-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴tanθ=
．
∴二面角C1-AB-C的正切值为
．
（Ⅲ）解：
=（2，0，2），
=（-2，2，2），
设平面AB1C1的法向量
=（a，b，c），
则
，
取a=1，得
=（1，2，-1），
又
=（2，-2，0），
∴点B平面AB1C1的距离：d=
=
=
，
∴点B平面AB1C1的距离为
．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B1（0，2，2），
B（0，2，0），C1（0，0，2），
| AB1 |
| BC1 |
| AB1 |
| BC1 |
∴AB1⊥BC1．
（Ⅱ）解：
| C1A |
| C1B |
设平面ABC1的法向量
| n |
则
|
| n |
又平面ABC的法向量
| m |
设二面角C1-AB-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
| n |
| m |
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
∴tanθ=
| 2 |
∴二面角C1-AB-C的正切值为
| 2 |
（Ⅲ）解：
| AC1 |
| AB1 |
设平面AB1C1的法向量
| p |
则
|
取a=1，得
| p |
又
| BA |
∴点B平面AB1C1的距离：d=
|
| ||||
|
|
| |2-4+0| | ||
|
| ||
| 3 |
∴点B平面AB1C1的距离为
| ||
| 3 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意向量法的合理运用．
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已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=
，则不等式f（x）≤
的解集为（ ）
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| 1 |
| 2 |
A、[-
| ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[
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已知正方形ABCD的边长为2，有一动点M从点B出发沿正方形的边运动，路线是B→C→D→A，设点M经过的路程为x，△ABM的面积为S，求函数S=f（x）的解析式及其定义域．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A、y=
| ||
B、y=
| ||
C、y=
| ||
D、y=
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