Question

已知甲、乙两个盒子，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换．
（Ⅰ）求交换后甲盒中有2个黑球的概率；
（Ⅱ）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）①互换的黑球，②互换的是红球，分别求出概率，然后求解甲盒中有2个黑球的概率．
（2）设甲盒中黑球的个数为ξ，求出ξ的分布列，然后求出期望．

解答： 16 解：（Ⅰ）①互换的黑球，此时甲盒子恰好有2黑球的事件记为A₁，则：P(A1)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

，
②互换的是红球，此时甲甲盒子恰好有2黑球记为A₂，则：P(A2)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

故甲盒中有2个黑球的概率P=P(A1)+P(A2)=

1

5

+

3

10

=

1

2

（2）设甲盒中黑球的个数为ξ，则：P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

；
P(ξ=2)=

1

2

；
P(ξ=3)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

，
因而ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
p	3 10	1 2	1 5

∴Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，期望以及概率的求法，考查计算能力．