Question

平面上，到点F（1，0）的距离与它到直线l：x=-1的距离相等的动点P的轨迹记作曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若倾斜角为

π

4

的直线m过点F，且与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线的定义，可求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线m的方程代入y²=4x，可得y²=4y+4，即可求线段AB的长．

解答： 解：（1）依题意，动点P的轨迹C是以F（1，0）为焦点，l：x=-1为准线的抛物线，
设轨迹C的方程为y²=2px（p＞0），则p=2所以动点P的轨迹C的方程为y²=4x；
（2）直线m的方程为y=x-1，即x=y+1，
代入y²=4x，可得y²=4y+4，
所以|AB|=

1+1

•

4+16

=2

10

．

点评：定义法是求圆锥曲线方程的重要方法，解决直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程．