Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

6

）•cosx．
（1）若sin（α-

π

3

）=

2

3

，求f（α）的值；
（2）若将y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于y轴对称，求m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对三角函数式进行恒等变换，下一步利用换元法和诱导公式进行变换，根据题中的已知条件进行求值．
（2）由（1）的部分结论，进一步变换成正弦型函数关系式，然后根据整体思想求得对称轴，最后确定最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x-

π

6

）cosx=

3

2

1

2

sin2x-

1

2

cos2x
=

1

2

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)-

1

4

=

1

2

sin(2x-

π

6

)-

1

4

，
令α-

π

3

=β则α=β+

π

3

且sinβ=

2

3

，
则：f(α)=

1

2

sin(2α-

π

6

)-

1

4

=

1

2

sin(2β+

π

2

)-

1

4

=

1

2

(1-2sin2β)-

1

4

=

1

36

，
（2）∵f(x-m)=

1

2

sin(2x-2m-

π

6

)-

1

4

的图象关于y轴对称，
2m+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
所以m的最小值为：

π

6

．
故答案为：（1）f（α）=

1

36

；
（2）所以m的最小值为：

π

6

．

点评：本题考查的知识点：三换元法的应用，诱导公式的应用，正弦型函数的对称轴及相关的运算．