Question

已知函数f（x）=

ax2+x， x≥0 x-ax2， x＜0

，设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[-

1

2

，

1

2

]⊆M，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意可得，在[-

1

2

，

1

2

]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．当a=0或 a＞0时，检验不满足条件．当a＜0时，应有f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

），化简可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，由此求得a的范围．

解答： 解：由于f（x）=

ax2+x， x≥0 x-ax2， x＜0

，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[-

1

2

，

1

2

]⊆M，
则在[-

1

2

，

1

2

]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移
a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象在函数
y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[-

1

2

，

1

2

]上，
函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
只要f（-

1

2

+a）＜f（-

1

2

）即可，
即-a（-

1

2

+a）²+（-

1

2

+a）＜-a（-

1

2

）²-

1

2

，
化简可得 a²-a-1＜0，解得

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，
故此时a的范围为（

1- 5

2

，0）．
综上可得，a的范围为（

1- 5

2

，0），
故答案为：（

1- 5

2

，0）．

点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用，属于中档题．