Question

数列{a_n}满足a₁=0且a_n+1=a_n+

1

2n

+1，数列{b_n}的前n项和S_n=2-b_n+

n(n+3)

2

，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：{b_n-n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（3）是否存在m∈N，使不等式a₁²+a₂²+…+a_n²＞b₁²+b₂²+…+b_n²-m对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由数列递推式a_n+1=a_n+

1

2n

+1，得到a_n+1-a_n=

1

2n

+1，然后利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（2）在S_n=2-b_n+

n(n+3)

2

中取n=1求得首项，取n=n-1得另一递推式，作差后即可证得{b_n-n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；
（3）由bn2-an2=(bn+an)(bn-an)=2n•

1

2n-2

=

n

2n-3

，把T_n=（b₁²+b₂²+…+b_n²）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）
分组代值后利用错位相减法求其和，把a₁²+a₂²+…+a_n²＞b₁²+b₂²+…+b_n²-m分离变量m后得答案．

解答： （1）解：由a_n+1=a_n+

1

2n

+1，得a_n+1-a_n=

1

2n

+1，
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=(

1

2n-1

+1)+(

1

2n-2

+1)+…+(

1

2

+1)+0
=(

1

2n-1

+

1

2n-2

+…+

1

2

)+(n-1)=n-

1

2n-1

；
（2）证明：S_n=2-b_n+

n(n+3)

2

，
当n=1时，由S₁=b₁=2-b₁+2，得b₁=2．
当n≥2时，Sn-1=2-bn-1+

(n-1)(n+2)

2

，
两式作差得：2b_n=b_n-1+n+1．
则2（b_n-n）=b_n-1-（n-1），
即bn-n=

1

2

[bn-1-(n-1)](n≥2)，
∴{b_n-n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
于是bn-n=

1

2n-1

．
∴bn=n+

1

2n-1

；
（3）解：∵bn2-an2=(bn+an)(bn-an)=2n•

1

2n-2

=

n

2n-3

，
设T_n=（b₁²+b₂²+…+b_n²）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）
=(b12-a12)+(b22-a22)+…+(bn2-an2)，
则Tn=

1

2-2

+

2

2-1

+

3

20

+…+

n-1

2n-4

+

n

2n-3

  ①．

1

2

Tn=

1

2-1

+

2

20

+

3

21

+…+

n-1

2n-3

+

n

2n-2

  ②．
①-②得，

1

2

Tn=

1

2-2

+

1

2-1

+

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-3

-

n

2n-2

=

4(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n-2

=8-

n+2

2n-2

．
∴Tn=16-

n+2

2n-1

．
可以看出，T_n＜16，且随着n的增大无限趋近于16．
由a₁²+a₂²+…+a_n²＞b₁²+b₂²+…+b_n²-m对任意n∈N^*都成立，得m＞T_n．
于是存在使该不等式成立的正整数m，其最小值为16．

点评：本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了分离参数法求参数的范围，是压轴题．