Question

2．已知tan2θ=-2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$＜θ＜π，求$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）}$的值．

Answer 1

分析 通过正切的倍角公式根据tan2θ求出tanθ的值；先用正弦两角和公式对原式进行化简，再tanθ代入即可得到答案．

解答 解：∵tan2θ=-2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=-2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$tan2θ-tanθ-$\sqrt{2}$=0
即（$\sqrt{2}$tanθ+1）（tanθ-$\sqrt{2}$）=0，
解得tanθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）}$=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角函数中的两角和公式运用，在求tanθ的过程中，要注意定义域，属基础题．