Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，且满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0．，则θ=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

Answer 1

分析 代入向量的夹角公式计算夹角，由（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0得（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0．作出图形，得出$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹，利用平面几何知识得出结论．

解答 解：cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∵（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0．∴（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0．
设$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A=（2，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（1，0），$\overrightarrow{c}$的终点为M，则BM⊥CM，
∴点M在以BC为直径的圆D上，∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为AD-$\frac{BC}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
故答案为$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算及几何意义，作出图形找到$\overrightarrow{c}$的终点轨迹是关键．