Question

10．P是锐角三角形△ABC的外心，$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），若cos∠BAC=$\frac{2}{5}$，则k的值为$\frac{5}{14}$．

Answer 1

分析 如图，取BC的中点D，连接PD，AD．可得PD⊥BC，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$．由满足$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），可得$\overrightarrow{AP}=2k\overrightarrow{AD}$，A，P，D三点共线，得到AB=AC．因此cos∠BAC=cos∠DPC=$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DP}{PA}$=$\frac{2}{5}$．即可得出

解答 解：如图所示，
取BC的中点D，连接PD，AD．
则PD⊥BC，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$．
由$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），可得$\overrightarrow{AP}=2k\overrightarrow{AD}$，所以A，P，D三点共线，所以AB=AC．
因此cos∠BAC=cos∠DPC=$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DP}{PA}$=$\frac{2}{5}$．
∴AP=$\frac{5}{7}$AD，
∴2k=$\frac{5}{7}$，
解得k=$\frac{5}{14}$．
故答案为：$\frac{5}{14}$．

点评 本题考查了向量共线定理、直角三角形的边角关系、三角形外心性质、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．