Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx+1（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若b=0，h（x）=f（x）-g（x），?x₁、x₂[1，2]使得h（x₁）-h（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求出函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程，再有直线与曲线的相切关系，联立方程组求出b的值；
（2）根据题意求满足条件的最大整数M，转化为求h（x）的最值解决，即只要使得M≤h（x）_max-h（x）_min即可；
（3）先利用导数法判断f（x）与g（x）的增减性，把|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价转化为f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），等价于f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂）成立，再构造函数φ（x）=f（x）+g（x），即等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-bx+1 在区间[1，2]上是增函数，利用导数与函数单调性的关系，结合不等式恒成立的条件，求得b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，----------------（2分）
∵直线y=x-1与函数g（x）的图象相切，由

y=x-1 y= 1 2 x2-bx+1

 消去y得x²-2（b+1）x+4=0，
则△=4（b+1）²-16=0，解得b=1或-3--------------------------------------（4分）
（2）当b=0时，∵h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

x2-1 （x∈[1，2]），
∴h′（x）=

1

x

-x=

(1-x)(1+x)

x

，----------------------------------------------（5分）
当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，∴在[1，2]上单调递减，
h（x）_max=h（1）=-

3

2

，h（x）_min=h（2）=ln2-3，-----------------------------------（7分）
则[h（x₁）-h（x₂）]_max=h（x）_max-h（x）_min=

3

2

-ln2，
∴M≤

3

2

-ln2＜1，故满足条件的最大整数是M=0．------------------------------（9分）
（3）不妨设x₁＞x₂，∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，∴f（x₁）＞f（x₂），
∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b≥2，∴函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴g（x₁）＜g（x₂），------------------------------------------------------（10分）
∴|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），----------------------------------（11分）
等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-bx+1 在区间[1，2]上是增函数，
等价于φ′（x）=

1

x

+x+b≥0在区间[1，2]上恒成立，---------------------------（12分）
等价于b≤x+

1

x

在区间[1，2]上恒成立，
∴b≤2，又b≥2，∴b=2．------------------------------------------------（14分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，
掌握不等式恒成立时所取的条件．理解等价转化思想的运用．