题目内容
已知函数f（x）=2cos2x+2
sinxcosx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在[-
，
]上的值域．
| 3 |
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）直接借助于降幂公式和二倍角公式进行化简，然后结合辅助角公式进行求解即可；
（2）利用三角函数的单调性进行求解．
（2）利用三角函数的单调性进行求解．
解答：
解：（1）f（x）=2cos2x+2
sinxcosx．
=1+cos2x+
sin2x
=2sin（2x+
）+1，
∵-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，
∴-
+kπ≤x≤
+kπ，
∴函数f（x的单调递增区间为[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z，
（2）∵x∈[-
，
]，
∴-
≤2x+
≤
，
∴当2x+
=-
时f（x）的最小值为0；
当2x+
=
时f（x）的最大值为3；
∴f（x）在区间[-
，
上的值域为[0，3]．
| 3 |
=1+cos2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x的单调递增区间为[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴f（x）在区间[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
点评：本题重点考查了降幂公式和二倍角公式，辅助角公式，三角函数的单调性等，属于中档题．
练习册系列答案
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| ||
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