Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，且log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的两个实根．
（Ⅰ）求a₂，b₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=

bn

，A_n是{c_n}前n项和，B_n=

n2-1

2

，当n∈N₊时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的两个实根，由根与系数的关系和对数的运算性质能求出a₂，b₁的值．
（Ⅱ）由已知条件推导出数列{a_n}的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，分别写出奇数项和偶数项和通项公式，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）此题的关键是求数列{b_n}的通项公式，求出这个通项公式后利用基本不等式能推导出A_n＜B_n．

解答： 解：（1）∵正项数列{a_n}中，a₁=1，
log₃a_n，log₃a_n+1是方程x²-（2n-1）x+b_n=0的两个实根，
∴log₃a_n+log₃a_n+1=2n-1，log₃a_n•log₃a_n+1=b_n，
∴a_na_n+1=3^2n-1，
当n=1时，a₁a₂=3，∵a₁=1，∴a₂=3．
∴b₁=log₃a₁•log₃a₂=log₃1•log₃3=0．
（Ⅱ）∵

an+1an+2

anan+1

=

32n+1

32n-1

=9，∴

an+2

an

=9，
∴{a_n}的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，
∴a_2k-1=a1•9k-1=3^2k-2，
a_2k=a2•9k-1=3^2k-1，（k∈N^*）
∴a_n=

3n-1，n为奇数 3n-1，n为偶数

=3^n-1，n∈N^*．
（Ⅲ）∵b_n=log₃a_n•log3 an+1 =（n-1）n，n∈N^*，
∴cn=

n(n-1)

，
当n=1时，A₁=c₁=0，B1 =0，A₁=B₁，
当n≥2时，c_n=

n(n-1)

＜

2n-1

2

，
An＜0+

3

2

+

5

2

+…+

2n-1

2

=

n2-1

2

=B_n．
综上，当n=1时，A_n=B_n；当n≥2时，A_n＜B_n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的比较，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．