Question

以下四个关于圆锥曲线的命题：
①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
②设A、B为两个定点，k为非零常数，若|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由双曲线

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

25+9

=

34

，其焦点(±

34

，0)，同理可得椭圆

x2

35

+y²=1焦点为(±

34

，0)；
②当||

PA

|-|

PB

||=k＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，即可判断出；
③解方程2x²-5x+2=0可得两根

1

2

，2．利用椭圆与双曲线的离心率的范围即可判断出；
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得点P为弦BA的中点，由垂经定理可得OP⊥AP，因此动点P的轨迹为圆．

解答： 解：①由双曲线

x2

25

-

y2

9

=1可得c=

25+9

=

34

，其焦点(±

34

，0)，同理可得椭圆

x2

35

+y²=1焦点为(±

34

，0)，因此有相同的焦点；
②设A、B为两个定点，k为非零常数，当||

PA

|-|

PB

||=k＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，因此②不正确；
③解方程2x²-5x+2=0可得两根

1

2

，2．因此

1

2

可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），可得点P为弦BA的中点，由垂经定理可得OP⊥AP，因此动点P的轨迹为圆，故不正确．
综上可知：其中真命题的序号为 ①③．
故答案为：①③．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了了推理能力，属于中档题．