Question

解关于x的不等式：（ax-2）（x-2a）＞0（a∈R，a≠0）

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：不等式等价于a（x-

2

a

）（x-2a）＞0，分（1）当a＞0时、（2）当a＜0时两种情况，依据

2

a

 和2a的大小关系，解一元二次不等式求得它的解集．

解答： 解：不等式：：（ax-2）（x-2a）＞0 等价于a（x-

2

a

）（x-2a）＞0．
（1）当a＞0时，不等式即（x-

2

a

）（x-2a）＞0，
∴当0＜a＜1时，

2

a

＞2a，原不等式的解集为{x|x＜2a，或 x＞

2

a

}．
当a＞1时，

2

a

＜2a，原不等式的解集为{x|x＞2a，或 x＜

2

a

}．
当a=1时，

2

a

=2a，原不等式的解集为{x|x≠2}．
（2）当a＜0时，不等式等价于（x-

2

a

）（x-2a）＜0，
当-1＜a＜0时，

2

a

＜2a，原不等式的解集为{x|

2

a

＜x＜2a}．
当a＜-1时，

2

a

＞2a，原不等式的解集为{x|2a＜x＜

2

a

}，
当a=-1时，

2

a

=2a，原不等式的解集为∅．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于基础题．