题目内容
△ABC中，若三边a，b，c依次成等比数列，且cosB=
，cos2A-cos2C=2sinAsinC，
（1）判断△ABC的形状；
（2）若
•
=
，求a+c的值．
| 3 |
| 4 |
（1）判断△ABC的形状；
（2）若
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算,等比数列的性质
专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）运用等比数列的性质和二倍角的余弦公式，及正弦定理即可化简等式为c2-a2=ac=b2，即可判断三角形的形状；
（2）运用向量的数量积的定义和余弦定理，即可得到a，c的方程，解得即可．
（2）运用向量的数量积的定义和余弦定理，即可得到a，c的方程，解得即可．
解答：
解：（1）三边a，b，c依次成等比数列，则b2=ac，
cos2A-cos2C=2sinAsinC即有（1-2sin2A）-（1-2sin2C）=2sinAsinC，
即有sin2C-sin2A=sinAsinC，
由正弦定理，可得，c2-a2=ac=b2，即a2+b2=c2，
即有△ABC为直角三角形；
（2）若
•
=
，且cosB=
则cacosB=
ac=
，即有ac=2，
由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-3，
又b2=c2-a2，
即有a=
，c=
，
则a+c=
．
cos2A-cos2C=2sinAsinC即有（1-2sin2A）-（1-2sin2C）=2sinAsinC，
即有sin2C-sin2A=sinAsinC，
由正弦定理，可得，c2-a2=ac=b2，即a2+b2=c2，
即有△ABC为直角三角形；
（2）若
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
则cacosB=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-3，
又b2=c2-a2，
即有a=
| ||
| 2 |
2
| ||
| 3 |
则a+c=
7
| ||
| 6 |
点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查二倍角公式和平面向量的数量积的定义，考查运算能力，属于中档题．
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若函数f（x）=（
a-3）•ax是指数函数，则f（
）的值为（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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| A、2 | ||
B、2
| ||
C、-2
| ||
| D、-2 |
在△ABC中，A=
且三个内角的正弦值成等比数列，则其最小角的正弦值（ ）
| π |
| 2 |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
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