Question

{a_n}是由实数构成的无穷等比数列，S_n=a₁+a₂+…+a_n，关于数列{S_n}，给出下列命题：
（1）数列{S_n}中任意一项均不为0；
（2）数列{S_n}中必有一项为0；
（3）数列{S_n}中或者任意一项均不为0，或者有无穷多项为0；
（4）数列{S_n}中一定不可能出现S_n=S_n+2；
（5）数列{S_n}中一定不可能出现S_n=S_n+3；
则其中正确的命题是

 

．（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：推理和证明

分析：对于①举反例an=(-1)n即可．对于②举反例a_n=n即可．对于③是正确的命题，q≠1时可证S_n≠0恒成立，
q=-1时S_n有有无穷多项为0；对于④利用③的结论即可反证．对于⑤利用反证即可

解答： 解：{a_n}是由实数构成的无穷等比数列，S_n=a₁+a₂+…+a_n
对于①，令a_n=（-1）ⁿ，则n=2k时S_n=S_2k=0，故结论是不正确的
对于②令a_n=1，则S_n=n＞0恒成立，故结论不正确
对于③，当q=1时，S  n=na₁≠0恒成立，
当q≠1且q≠-1时，S_n=

a1(1-qn)

1-q

≠0恒成立
当q=-1时，n=2k时，S_n=0，n=2k-1时，S_n=a₁≠0恒成立．
综上可得结论是正确的．
对于④，由①可知结论是不正确的．
对于⑤，若S_n=S_n+3，则a_n+1+a_n+2+a_n+3=0，∴a_n（1+q+q²）=0，∵a_n≠0，1+q+q²≠0
可知结论是正确的．
故答案为：③④

点评：本题借助数列的前n项和以命题的形式考查数列的概念，属于基础题易错题．