Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x（1+x）+1，
（1）求函数的解析式
（2）求函数的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数定义求解，注意f（0）的值．（2）根据二次函数，分段函数解析式求解．

解答： 解：（1）∵在R上的奇函数f（x），
∴f（-x）=f（x），即x=0，则f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）=x（1+x）+1，
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）（1-x）+1=x²-x+1，
f（x）=-x²+x-1，（x＜0）
故f（x）=

x2+x+1，x＞0 0，x=0 -x2+x-1，x＜0

（2）根据解析式可判断，
∵当x＞0时，函数单调递增，f（x）＞1，
当x＜0时，函数单调递增，f（x）＜-1，
∴函数的值域值域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）∪{0}

点评：本题考查了函数的性质，概念，属于容易题．