Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上一点且∠F₁PF₂=

π

2

，PF₁交y轴于点Q，若S △OQF1：S 四边形PQOF2=1：2，则离心率e=（　　）

• A、

  1

  2

• B、2-

  3

• C、

  3

  -1
• D、

  5

  -

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，根据三角形的关系和焦半径公式进行处理，然后，借助于三角形之间的关系进行求解．

解答： 解：设点P（x₀，y₀），（不妨设点P位于第一象限），
由焦点半径公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
∵∠F₁PF₂=

π

2

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=4c²
∴x₀=

2c2-a2

e

，
将它代入椭圆的标准方程，得
y₀=

b2

c

，
∴P（

2c2-a2

e

，

b2

c

）
∵S △OQF1：S 四边形PQOF2=1：2，
∴S △OQF1=

1

3

S△F₁PF₂，
∴连接QF₂，
∴△OQF₂≌△QF₂P
∴F₂P=c，
∴F₁P=2a-c，∴|F₁P|²+|F₂P|²=|F₁F₂|²，
∴（2a-c）²+c²=4c²，
∴c²-2ac-2a²=0，
∴e^2₊2e-2=0，
∴e=

3

-1，e=-1-

3

（舍去），
∴e=

3

-1，
故选：C．

点评：利用椭圆的几何性质可以求离心率时，要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力．