Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为矩形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若AB=2BC，求直线AC与平面BCE所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据已知条件容易证明AE⊥平面BCE，所以得到AE⊥BC；
（Ⅱ）根据已知条件容易判断出M是CE中点，取CD中点F，并连接MF，NF，则容易说明平面MNF∥平面ADE，MN?平面MNF，所以得到MN∥平面ADE；
（Ⅲ）容易判断∠ACE是直线AC与平面BCE所成角，可设BC=1，则根据已知的边的关系可求出AE，AC，所以在Rt△ACE中可求sin∠ACE，从而求出∠ACE．

解答： 解：（Ⅰ）∵BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BM⊥AE，即AE⊥BM；
又AE⊥BE，BE∩BM=B；
∴AE⊥平面BCE，BC?平面BCE，∴AE⊥BC；
（Ⅱ）取CD中点F，连接MF，NF；
BM⊥平面ACE，CE?平面ACE，∴BM⊥CE，又BE=BC；
∴M是CE的中点；
∴MF∥DE，DE?平面ADE，MF?平面ADE；
∴MF∥平面ADE，同理，NF∥平面ADE，MF∩NF=F；
∴平面MFN∥平面ADE，MN?平面MFN；
∴MN∥平面ADE；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴∠ACE是直线AC和平面BCE所成的角；
设BC=1，则AB=2，AB⊥BC，∴AC=

5

；
AE⊥BE，BE=1；
∴AE=

3

；
∴在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

=

3

5

=

15

5

；
∴∠ACE=acsin

15

5

．

点评：考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理．