Question

在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且C=45°，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，由B与C的度数求出A的度数，根据b，c及sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
即a²+c²-b²=2accosB，
∴代入已知等式得：2accosB=

2 3

3

acsinB，
即tanB=

3

，
∵B为三角形的内角，
∴B=60°；
（2）∵b=

3

，sinB=

3

2

，sinC=

2

2

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，
得：c=

bsinC

sinB

=

3 × 2 2

3 2

=

2

，
∵B=60°，C=45°，
∴A=75°，
∴sinA=sin75°=sin（45°+30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

3

×

2

×

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．