Question

已知二次函数f（x）=x²-2ax+b²（a，b∈R），若a是从区间[-2，2]中随机抽取的一个数，b是从区间[-3，3]中随机抽取的一个数，求方程f（x）=0没有实数根的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：由方程f（x）=0没有实数根，可求出a，b满足的条件，然后求出实验的全部结果构成的区域的面积，再求出方程f（x）=0没有实数根的区域的面积，即可求得方程f（x）=0没有实数解的概率．

解答： 解：由方程f（x）=0没有实数根，
得：4a²-4b²＜0，∴（a-b）（a+b）＜0，
即：

a+b＞0 a-b＜0

或者

a+b＜0 a-b＞0

，
又因为-2≤a≤2，-3≤b≤3，
作出平面区域图如图所示，
可知方程f（x）=0没有实数根的概率为：P=

4×6-2× 1 2 ×2×4

4×6

=

2

3

，
故方程f（x）=0没有实数根的概率为

2

3

．

点评：本题主要考查几何概型，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，同时考查了作图的能力和运算求解的能力，属于中档题．