Question

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{

1

anan+1

}的前n项和为S_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由

a1+a2=5 a3=7

可解得a₁，d，从而可求得a_n；
（2）表示出

1

anan+1

，利用裂项相消法可求得S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由

a1+a2=5 a3=7

，即

2a1+d=5 a1+2d=7

，解得

a1=1 d=3

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，（n∈N^*）．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

1

3

(1-

1

4

)+

1

3

(

1

4

-

1

7

)+

1

3

(

1

7

-

1

10

)+…+

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)+

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式及数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点，应熟练掌握．