Question

如图，在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PAC的体积．若f(M)=(

1

2

，2x，y)，且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，则正实数a的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,棱锥的结构特征

专题：不等式的解法及应用,空间位置关系与距离

分析：在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．可得三棱锥的体积VP-ABC=

1

3

SPAB•PC=1．得到4x+2y=1．利用基本不等式可得

1

x

+

a

y

=(4x+2y)(

1

x

+

a

y

)=4+2a+

2y

x

+

4ax

y

≥4+2a+4

2a

，当且仅当y=2

a

x取等号．又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，4+2a+4

2a

≥8，解得a≥6-4

2

．

解答： 解：在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．
∴VP-ABC=

1

3

SPAB•PC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1．
∴

1

2

+2x+y=1，化为4x+2y=1．
∵a＞0，x＞0，y＞0．
∴

1

x

+

a

y

=(4x+2y)(

1

x

+

a

y

)=4+2a+

2y

x

+

4ax

y

≥4+2a+2

2y x × 4ax y

=4+2a+4

2a

，当且仅当y=2

a

x取等号．
又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，∴4+2a+4

2a

≥8，解得a≥6-4

2

．
故a的最小值是6-4

2

．
故答案为：6-4

2

．

点评：本题考查了三棱锥的体积、基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，属于难题．