Question

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对于所有正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与x轴相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切，且x_n+1＜x_n．则

lim

n→∞

nxn等于

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意圆P_n与P_n+1彼此外切，利用两圆外切等价于两圆心距等于圆的半径和，化简出数列{x_n}的递推关系，进而得到数列{x_n}的通项公式x_n及nx_n，由数列极限的运算性质可求答案．

解答： 解：圆P_n与P_n+1彼此外切，令r_n为圆P_n的半径，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1，
两边平方并化简得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1，
由题意得，圆P_n的半径r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0，∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
即

1

xn+1

-

1

xn

=2(n∈N*)，
∴数列{

1

xn

}是以

1

x1

为首项，以2为公差的等差数列，∴

1

xn

=

1

x1

+（n-1）×2=2n-2+

1

x1

，
∴xn=

1

2n-2+ 1 x1

，nxn=

n

2n-2+ 1 x1

，

lim

n→∞

nxn=

lim

n→∞

n

2n-2+ 1 x1

=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：此题重点考查了两元相外切的等价条件，还考查了有关数列的递推关系求其通项公式，考查了数列极限的运算性质．