Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

3

）sin（x+

π

2

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若g（x）=f（x）-

3

4

，求g（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

4

，由正弦函数的周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）由题意可求g（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），由0≤x≤

π

2

，可解得-

3

4

≤

1

2

sin(2x+

π

3

)≤

1

2

，即可得解．

解答： 解：f（x）=（

1

2

sinx+

3

2

cosx）cosx  …（2分）
=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos²x
=

1

4

sin2x+

3

4

（1+cos2x）  …（4分）
=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

4

； …（6分）
（1）所以T=

2π

2

=π．  …（8分）
（2）g（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

），
因为0≤x≤

π

2

，所以

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
所以-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
可得：-

3

4

≤

1

2

sin(2x+

π

3

)≤

1

2

，
所以g（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为[-

3

4

，

1

2

]．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．