Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（Ⅰ）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁DC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BC₁．判断AB⊥面BB₁C₁C，到底线面角；
（Ⅱ）连接BC₁，交B₁C于F，则F为BC₁的中点，得到DF∥AC₁，利用线面平行的判定定理可证．

解答： 解：（Ⅰ）连接BC₁．
因为直棱柱，所以BB₁⊥AB，
而由于AB⊥BC，
所以AB⊥面BB₁C₁C，
所以∠AC₁B即为AC₁与平面BB₁C₁C所成角．
因为AB=BC=AA₁=2，所以tan∠AC₁B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

；
（Ⅱ）证明：连接BC₁，交B₁C于F，则F为BC₁的中点，
因为D是AB的中点．
所以在△ABC₁中，DF∥AC₁，
又DF?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
所以AC₁∥平面B₁DC．

点评：本题考查了空间角的线面角以及线面平行的判定定理的运用；关键是将空间问题转化为平面其他解决．