题目内容

已知实数a，b，c均大于0，且ab+bc+ac=1，求：
a
bc
+
b
ac
+
c
ab
≥3（
a
+
b
+
c
）
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：利用基本不等式，即可证明结论．
解答： 证明：∵a
bc
≤
ab+ac
2
，b
ac
≤
ba+bc
2
，c
ab
≤
ca+cb
2
，
∴相加可得a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ac=1，
∴
a
+
b
+
c
≤
1
abc
，
∵实数a，b，c均大于0，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac），
∴a+b+c≥
3
，
a
bc
+
b
ac
+
c
ab
=
a+b+c
abc
≥
3
abc
，
∴
a
bc
+
b
ac
+
c
ab
≥
3
（
a
+
b
+
c
）
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]（a＜b）．那么撑f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=
x
符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=lnx+3x-6是不是闭函数，若是请找出区间[a，b]，若不是请说明理由；
（3）若y=（x-k）2，x∈（k，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．
已知：动圆M与圆F：（x-1）2+y2=1内切，且与直线l：x=-2相切，动圆圆心 M的轨迹为曲线Γ
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过曲线Γ上的点 P（x0，2）引斜率分别为k1，k2的两条直线l1、l2，直线l1、l2与曲线Γ的异于点P的另一个交点分别为A、B，若k1k2=4，试探究：直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出该定点的坐标，若不恒过定点，请说明理由．
已知函数f（x）=sin（x+
π
3
）sin（x+
π
2
）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若g（x）=f（x）-
3
4
，求g（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．
证明：
3-4cos2A+cos4A
3+4cos2A+cos4A
=tan4A．
已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=
π
3
．若
AO
=x
AB
+y
AC
，则6x+9y=
 
．
若直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于x的方程x2
OA
+x
OB
+
BC
=
0
（x∈R）有解（点O不在直线l上），则此方程的解集为
 
．
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线A1C与侧棱BB1所成的角为45°，且AB=BC=1，求A1C与侧面BB1C1C所成角的大小．
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，a＞b，设异面直线AC1与BD所成角为θ．求证：cosθ=
a2-b2
(a2+b2)(a2+b2+c2)
．

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