Question

已知

a

=（

3

2

，cos2x），

b

=（sin2x，

1

2

）函数f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由平面向量数量积及三角函数中的恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．由周期公式即可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即可解得f（x）的单调增区间．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律“左加右减，上加下减”即可得解．

解答： （本题满分12分）
解：（1）∵

a

=（

3

2

，cos2x），

b

=（sin2x，

1

2

）
∴f（x）=

a

•

b

+

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（4分）
依题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即　kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（7分）
（2）先把y=sin2x图象上所有点向左平移

π

12

个单位长度，得到y=sin(2x+

π

6

)的图象，
再把所得图象上所有的点向上平移

3

2

个单位长度，就得到y=sin(2x+

π

6

)+

3

2

的图象．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．