Question

已知函数f（x）=cos（x-

π

2

），g（x）=e^x•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）试探究当x∈[

π

4

，

π

2

]时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的零点与方程根的关系,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）化简f（x）=sinx，g（x）=e^xcosx，g（0）=e⁰cos0=1；从而由导数的几何意义写出切线方程；
（Ⅱ）对任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化为m≤[g（x）-x•f（x）]_min，x∈[-

π

2

，0]，从而设h（x）=g（x）-x•f（x），x∈[-

π

2

，0]，转化为函数的最值问题求解．
（Ⅲ）设H（x）=g（x）-x•f（x），x∈[

π

4

，

π

2

]；从而由函数的单调性及函数零点的判定定理求解函数的零点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，
f（x）=sinx，g（x）=e^xcosx，g（0）=e⁰cos0=1；
g′（x）=e^x（cosx-sinx），g′（0）=1；
故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x+1；

（Ⅱ）对任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化为
m≤[g（x）-x•f（x）]_min，x∈[-

π

2

，0]，
设h（x）=g（x）-x•f（x），x∈[-

π

2

，0]，
则h′（x）=e^x（cosx-sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx，
∵x∈[-

π

2

，0]，
∴（e^x-x）cosx≥0，（e^x+1）sinx≤0；
故h′（x）≥0，
故h（x）在[-

π

2

，0]上单调递增，
故当x=-

π

2

时，h_min（x）=h（-

π

2

）=-

π

2

；
故m≤-

π

2

；

（Ⅲ）设H（x）=g（x）-x•f（x），x∈[

π

4

，

π

2

]；
则当x∈[

π

4

，

π

2

]时，
H′（x）=e^x（cosx-sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx＜0，
故H（x）在[

π

4

，

π

2

]上单调递减，
故函数H（x）在[

π

4

，

π

2

]上至多有一个零点；
又H（

π

4

）=

2

2

（e

π

4

-

π

4

）＞0，
H（

π

2

）=-

π

2

＜0；
且H（x）在[

π

4

，

π

2

]上是连续不断的，
故函数H（x）在[

π

4

，

π

2

]上有且只有一个零点．

点评：本题考查了导数的几何意义的应用及导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及函数的最值问题，还考查了零点的个数的判断，属于难题．