Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

2

2

)，其离心率为

2

2

，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l与圆x²+y²=

2

3

相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足

OP

=λ

OQ

（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：对第（1）问，由离心率及a²=b²+c²，得a与b的关系式，再将点M的坐标代入椭圆方程中，求解关于a，b的二元二次方程组，即得a²，b²，从而得椭圆的标准方程．
对第（Ⅱ）问，根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k与m的等量关系，要证明OA⊥OB，只需证明

OA

•

OB

=0即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于k，m的代数式，再利用前面k与m的等量关系即可达到目的．
对第（Ⅲ）问，当m=0时，容易验证不合题意．
当m≠0时，设点Q（x₀，y₀），将

OP

=λ

OQ

坐标化，得到x₀，y₀的表达式，代入椭圆方程中，得λ与m的等量关系，再由第（Ⅱ）问中k与m的等量关系，得不等关系，又由△＞0，得λ与m的不等关系，联立两不等关系式可得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵离心率e=

c

a

=

2

2

，a2=b2+c2，
∴a²=2b²，从而椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
将点M(1，

2

2

)的坐标代入上式，得b²=1，a²=2，
∴椭圆C方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因为直线l与圆x2+y2=

2

3

相切，所以

|m|

1+k2

=

6

3

，即3m²-2k²-2=0．
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
从而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=

3m2-2k2-2

1+2k2

=0，
故OA⊥OB．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
由向量加法的平行四边形法则，得

OA

+

OB

=

OP

，
∵

OP

=λ

OQ

，∴

OA

+

OB

=λ

OQ

，
（i）当m=0时，直线l：y=kx+m过原点，点A与B关于原点对称，不合题意．
（ii）当m≠0时，点A，B不关于原点对称，则λ≠0，
设Q（x₀，y₀），则（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
得

x0= 1 λ (x1+x2) y0= 1 λ (y1+y2)

，从而

x0= -4km λ(1+2k2) y0= 2m λ(1+2k2)

．
∵点Q在椭圆上，将Q的坐标代入椭圆方程中，得[

-4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2，
化简得4m²=λ²（1+2k²）．…①
又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
由①、②得4m²＞λ²m²，∵m≠0，∴0＜λ²＜4．…④
因此，实数λ的取值范围是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．

点评：1．本题考查了椭圆标准的求法，直线与圆的相切关系，直线与椭圆相交的综合问题等，关键是熟练运用各种常见的转换关系，如
（1）OA⊥OB?

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0．
（2）直线与圆相切问题的转化：
①圆心到直线的距离等于圆的半径；
②联立直线与圆的方程，消去x或y，得到一个关于y或x的一元二次方程，此时△=0．
2．求椭圆方程时，应设法建立关于a，b的两个方程，再解方程组．
3．对于向量与圆锥曲线的综合问题，既要联想到向量的几何特征，又要想到其代数特征．
4．对于参数范围的求解，常通过判别式△，椭圆的范围，离心率或等式本身的隐含条件中寻找不等关系．