题目内容

已知椭圆
x2
4
+y2=1，求：点M（x，y）到直线l：x+2y=4的距离的最值．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设和直线l：x+2y=4平行且与椭圆
x2
4
+y2=1相切的直线方程x+2y+m=0，联立直线和椭圆方程，由判别式等于0求得m的值，然后利用平行线间的距离公式得答案．
解答： 解：设和直线l：x+2y=4平行且与椭圆
x2
4
+y2=1相切的直线方程为x+2y+m=0，
联立
x+2y+m=0
x2
4
+y2=1
，得2x2+2mx+m2-4=0，
由△=4m2-8（m2-4）=32-8m2=0，得m=±2．
∴和直线l：x+2y=4平行且与椭圆
x2
4
+y2=1相切的直线方程为x+2y-2=0或x+2y+2=0．
由平行线间的距离公式得直线x+2y-4=0与直线x+2y-2=0的距离为
|-4+2|
5
=
2
5
5
，
直线x+2y-4=0与直线x+2y+2=0的距离为
|-4-2|
5
=
6
5
5
．
∴椭圆上的点M（x，y）到直线l：x+2y=4的距离的最小值为
2
5
5
，最大值为
6
5
5
．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平行线间的距离，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
2
+y2=1，则：
（1）求过点P（
1
2
，
1
2
）且被P平分的弦所在的直线方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP•kOQ=-
1
2
，求线段PQ中点M的轨迹方程．
若点N在直线1上，直线l又在平面α内，则点N，直线l与平面α之间的关系可记作（　　）
A、N∈l∈α
B、N∈l?α
C、N?l?α
D、N?l∈α
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M(1，
2
2
)，其离心率为
2
2
，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l与圆x2+y2=
2
3
相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足
OP
=λ
OQ
（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=12，则S13等于
 
．
已知数列{an}满足a1=-
1
4
，an=1-
1
an-1
（n＞1），计算并观察数列{an}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=
 
．
数列{an}的通项公式an=
1
n
+
n+2
（n∈N*），若前n项和为Sn，则Sn为（　　）
A、
n+2
-1
B、
n+2
+
n+1
-
2
-1
C、
1
2
（
n+2
-1）
D、
1
2
（
n+2
+
n+1
-
2
-1）
函数f（x）=
x-3，(x≥10)
f(f(x+5))，(x＜10)
，f（7）=
 
．
已知tanα=
3
（1+m），tan（-β）=
3
•（tanαtanβ+m），α，β都是钝角，求α+β的值．

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