Question

已知t＞0，设函数f（x）=x³-

3(t+1)

2

x2+3tx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）≤xe^x-m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为1，求t的取
值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，令导数为0，再由f（x）在（0，2）上无极值，即可求得t；
（Ⅱ）对t讨论，分①当0＜t＜1时，②当t=1时，③当1＜t＜2时，④当t≥2时，求出单调区间，极值，进而确定最值，解不等式，即可得到t的范围；
（Ⅲ）运用参数分离，得到m≤xe^x-x³+

3(t+1)

2

x²-3tx+1=x（e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t）+1对x≥0恒成立．
g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t，x≥0，由于m的最大值为1．则g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t≥0恒成立．
对g（x）二次求导，求出单调区间，求出极值和最值，判断g（x）的单调性，即可得到t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3（t+1）x+3t=3（x-1）（x-t），
令f′（x）=0，则x=1或t，
又f（x）在（0，2）无极值，由于1∈（0，2），则t=1；                                 
（Ⅱ）①当0＜t＜1时，f（x）在（0，t）单调递增，在（t，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴f（t）≥f（2），由f（t）≥f（2）得：-t³+3t²≥4在0＜t＜1时无解．
②当t=1时，不合题意；
③当1＜t＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，
∴

f(1)≥f(2) 1＜t＜2

即

1 2 + 3t 2 ≥3 1＜t＜2

∴

5

3

≤t＜2；
④当t≥2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，满足条件．
综上所述：t∈[

5

3

，+∞)时，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值．
（Ⅲ）若f（x）≤xe^x-m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤xe^x-x³+

3(t+1)

2

x²-3tx+1=x（e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t）+1对x≥0恒成立．
令g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t，x≥0，由于m的最大值为1．
则g（x）=e^x-x²+

3(t+1)

2

x-3t≥0恒成立，否则?x₀＞0，g（x₀）＜0，
则当x=x₀，m=1时，f（x）≤xe^x-m+2不恒成立，
由于g（0）=1-3t≥0，则0＜t≤

1

3

，
当0＜t≤

1

3

时，g′（x）=e^x-2x+

3(t+1)

2

，则g′′（x）=e^x-2；
若g′′（x）=0，则x=ln2，则g′（x）在（0，ln2）上递减，
在（ln2，+∞）上递增，则g′（x）_min=g′（ln2）=2+

3(t+1)

2

-ln2＞0，
则g（x）在x≥0上递增，则g（x）≥g（0）=1-3t≥0，满足条件，
故t的取值范围是（0，

1

3

]．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．