题目内容

已知定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（　　）
A、
3
f（
π
4
）＞
2
f（
π
3
）
B、
3
f（
π
6
）＜f（
π
3
）
C、
2
f（
π
6
）＞f（
π
4
）
D、f（1）＜2f（
π
6
）•sin1
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=
f(x)
sinx
，由其导函数的符号得到其在（0，
π
2
）上为增函数，则g（
π
6
）＜g（
π
4
）＜g（1）＜g（
π
3
），整理后即可得到答案．
解答： 解：解：因为x∈（0，
π
2
），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
f(x)
sinx
，x∈（0，
π
2
），则g′（x）=
f′(x)sinx-f(x)cosx
sin2x
＞0．
所以函数g（x）=
f(x)
sinx
在x∈（0，
π
2
）上为增函数，
则g（
π
6
）＜g（
π
4
）＜g（1）＜g（
π
3
），即
f(
π
6
)
sin
π
6
＜
f(
π
4
)
sin
π
4
＜
f(1)
sin1
＜
f(
π
3
)
sin
π
3
，
对照选项，A．应为
2
f(
π
3
)＞
3
f(
π
4
)，C．应为
2
f(
π
6
)＜f（
π
4
），
D．应为f（1）2f（
π
6
）sin1，B正确．
故选B．
点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．
练习册系列答案
相关题目
比较大小：log56
 
log32（按大小关系填“＜”或“＞”）．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
（1）函数f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心坐标为
 
；
（2）计算f（
1
2015
）+f（
2
2015
）+f（
3
2015
）+…+f（
2014
2015
）=
 
．
如图，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=CD=PD，E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD．求证：PA∥面EFG．
若点N在直线1上，直线l又在平面α内，则点N，直线l与平面α之间的关系可记作（　　）
A、N∈l∈α
B、N∈l?α
C、N?l?α
D、N?l∈α
已知数列{an}，a1=1，且满足an=an-1+2n-1（n≥2）．
（1）写出数列{an}的前5项；
（2）写出数列{an}的通项公式．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M(1，
2
2
)，其离心率为
2
2
，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l与圆x2+y2=
2
3
相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足
OP
=λ
OQ
（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．
已知数列{an}满足a1=-
1
4
，an=1-
1
an-1
（n＞1），计算并观察数列{an}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=
 
．
下列有关命题叙述错误的是（　　）
A、已知集合A={1，4，2x}，B={1，x2}，若B⊆A，则x=0，或-2
B、若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
C、对于命题p：?x2＞y2，x＞y，则命题?p：?x2≤y2，x≤y
D、命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”

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