Question

下列说法中正确的是

 

．（填序号）
①“m＞5”是“

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示双曲线”的充分不必要条件；
②已知P为双曲线

x2

25

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左，右焦点，若|PF₁|=11，则|PF₂|=21或1；
③若在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上存在点P满足|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率的范围是（1，2]；
④直线3x-4y-4=0与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有两个不同的交点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：求出方程

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示双曲线的m的范围判断①；由双曲线的定义求出|PF₂|判断②；
由题意求出双曲线的离心率的范围判断③；联立直线与双曲线方程求解交点判断④．

解答： 解：对于①，当m＞5时，

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示双曲线，
若

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示双曲线，则（5-m）（1-m）＞0，解得m＜1或m＞5，
∴“m＞5”是“

x2

5-m

-

y2

1-m

=1表示双曲线”的充分不必要条件，命题①正确；
对于②，已知P为双曲线

x2

25

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左，右焦点，则|PF₁|-|PF₂|=±10，
若|PF₁|=11，则|PF₂|=21或1，命题②正确；
对于③，若在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上存在点P满足|PF₁|=3|PF₂|，
设P点的横坐标为x，∵|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a），
根据双曲线的第二定义，可得3e（x-

a2

c

）=e（x+

a2

c

），∴ex=2a，
∵x≥a，∴ex≥ea，
∴2a≥ea，∴e≤2，
∵e＞1，∴1＜e≤2．
则双曲线的离心率的范围是（1，2]，命题③正确；
对于④，联立

3x-4y-4=0 x2 16 - y2 9 =1

，得

x= 20 3 y=4

，直线3x-4y-4=0与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有一个交点，命题④错误．
∴正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系问题，是中档题．