Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sin x时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；
④若函数f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

（x＞-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B；
⑤若函数f（x）=ln（x²+a）∈A，则a＞0．
其中的真命题有（　　）

• A、①③④⑤
• B、②③④⑤
• C、①③⑤
• D、①③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由函数的定义判断①；举具体函数f（x）=x（-1＜x＜1）说明②错误；由函数的定义结合①判断③；
由f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

 （x＞-2），知当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．当a=0时可得命题正确；由对数函数定义域和值域间的关系判断⑤．

解答： 解：对于①，若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正确；
对于②，取函数f（x）=x（-1＜x＜1），其值域为（-1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[-M，M]=[-1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误；
对于③，当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，
∴当g（x）∈B时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[-M，M]，那么对于该区间外的某一个b₀∈R，一定存在一个a₀∈D，使得f（a₀）=b-g（a₀），即f（a₀）+g（a₀）=b₀∉[-M，M]，故③正确；
对于④，f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

 （x＞-2），
当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．
要使得函数f（x）有最大值，只有a=0，此时f（x）=

x

x2+1

 （x＞-2），易知f（x）∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴存在正数M=

1

2

，使得f（x）∈[-M，M]，故④正确；
对于⑤，若f（x）∈A值域是R，则x²+a的值要取遍所有的正实数，从而a≤0，故⑤错误．
∴正确的命题是①③④．
故选：D．

点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，训练了特值法思想在解题中的应用，关键是对题意的理解，是中档题．