Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f（4）=

1

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时，解不等式f（x-3）•f（5）≤

1

4

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f²（

x

2

），结合函数f（x）为非零函数可得；
（2）利用函数的单调性的定义证明；
（3）由f（4）=

1

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可得f（2）=

1

4

，从而化简不等式f（x-3）•f（5）≤

1

4

为f（x-3+5）≤f（2），从而利用单调性求解．

解答： 解：（1）证明：f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f²（

x

2

）＞0，
（2）证明：∵f（0）=f²（0），∴f（0）=1；
∴f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；
∴f（-b）=

1

f(b)

；
任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
则f（x）为减函数；
（3）由f（4）=f²（2）=

1

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，则f（2）=

1

4

，
原不等式转化为f（x-3+5）≤f（2），
结合（2）得：x+2≥2，
∴x≥0；
故不等式的解集为{x|x≥0}．

点评：本题考查了函数单调性的证明与应用，属于中档题．