Question

6．冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间有关系，某农科所对此关系进行了调查分析，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x/℃	10	11	13	12	8
发芽数y/颗	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值；
（Ⅱ）由数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（Ⅲ）计算x=10时$\widehat{y}$的值和x=8时$\widehat{y}$的值，再比较得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设抽到不相邻的两组数据为事件A，
从5组数据中选取2组数据共有10种情况：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
其中数据为12月份的日期数，每种情况都是可能出现的，
事件A包括的基本事件有6种；
∴P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由数据，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（11+13+12）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（25+30+26）=27，
由公式，求得$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（-1）×（-2）+1×3+0×（-1）}{{（-1）}^{2}{+1}^{2}{+0}^{2}}$=2.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=27-2.5×12=-3，
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=2.5x-3；
（Ⅲ）当x=10时，$\widehat{y}$=2.5×10-3=22，|22-23|＜2；
同样当x=8时，$\widehat{y}$=2.5×8-3=17，|17-16|＜2；
∴（Ⅱ）中所得的线性回归方程可靠．

点评 本题考查了线性回归方程和列举法求概率的应用问题，是中档题．