Question

18．已知m是给定的一个常数，若直线x-3y+m=0上存在两点A，B，使得点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则线段AB的中点坐标是（$\frac{4m}{5}$，$\frac{3m}{5}$）．

Answer 1

分析 根据题意，设线段AB的中点为M，其坐标为（a，b），分析可得a-3b+m=0①；又由若|PA|=|PB|，分析可得PM⊥AB，则有$\frac{b-0}{a-m}$=-3②，联立①②，解可得a、b的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，设线段AB的中点为M，其坐标为（a，b），
则M也在直线x-3y+m=0上，即有a-3b+m=0，①
若|PA|=|PB|，且A、B两点都在直线x-3y+m=0上，
则有PM⊥AB，即$\frac{b-0}{a-m}$=-3，②
联立①②，解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4m}{5}}\\{b=\frac{3m}{5}}\end{array}\right.$，
即线段AB的中点坐标为（$\frac{4m}{5}$，$\frac{3m}{5}$）；
故答案为：（$\frac{4m}{5}$，$\frac{3m}{5}$）．

点评 本题考查直线之间垂直的应用，关键是由|PA|=|PB|分析线段AB的中点与P的关系．