Question

1．设函数f（x）=|2x-1|-|ax+2|，．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）当a=2时，若?x₀∈R，使f（x₀）＜4m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论、去掉绝对值，求得不等式的解集，综合可得结论．
（Ⅱ）当a=2时，利用绝对值三角不等式，求得f（x）的范围，从而求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-1|-|x+2|
?①当x＜-2时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x+x+2=-x+3，不等式f（x）＞0，即-x+3＞0，解得x＜3．
又x＜-2，∴不等式的解集为{x|x＜-2}；
②?当$-2≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x-x-2=-3x-1，不等式f（x）＞0，即-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$．
又$-2≤x≤\frac{1}{2}$，∴不等式的解集为{x|$-2≤x＜-\frac{1}{3}$}；
③?当$x＞\frac{1}{2}$时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3，不等式f（x）＞0，即x-3＞0，解得x＞3．
又$x＞\frac{1}{2}$，∴不等式的解集为{x|x＞3}．
综上，不等式f（x）＞0的解集为$（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（3，+∞）$．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，∴-3≤f（x）≤3．
若?x₀∈R，使f（x₀）＜4m成立，则4m≥-3，∴$m≥-\frac{3}{4}$，
因此m的取值范围是$[{-\frac{3}{4}，+∞}）$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．