Question

16．已知点（x，y）满足曲线方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），则$\frac{y}{x}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 曲线是以C（4，6）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆，$\frac{y}{x}$是原点和圆上的点的连线的斜率，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，$\frac{y}{x}$取最值，由此能求出$\frac{y}{x}$的最小值．

解答 解：曲线方程$\left\{\begin{array}{l}x=4+\sqrt{2}cosθ\\ y=6+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程得（x-4）²+（y-6）²=2，
∴曲线是以C（4，6）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆，
∴$\frac{y}{x}$是原点和圆上的点的连线的斜率，
如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，$\frac{y}{x}$取最小值，
设过原点的切线方程为y=kx，
则圆心C（4，6）到切线y=kx的距离：
d=$\frac{|4k-6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即7k²-24k+17=0，
解得k=1或k=$\frac{17}{7}$，
∴$\frac{y}{x}$的最小值是1．
故选：D．

点评 本题考查圆上的点的纵坐标与横坐标的比值的最小值的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．