Question

13．下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．

时间x（秒）	5	10	15	20	30
深度y（微米）	6	10	10	13	16

（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图；
（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．
回归方程：$\widehat{y}$=bx+a，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图即可；
（2）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、a，
写出回归方程，计算x=40时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图如图所示；
（2）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（5+10+15+20+30）=16，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（6+10+10+13+16）=11；
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5×6+10×10+15×10+20×13+30×16=1020，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=5²+10²+15²+20²+30²=1650，
∴回归系数为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1020-5×15×11}{1650-5{×16}^{2}}$≈0.53，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=11-0.53×16=2.52；
∴回归方程为：$\widehat{y}$=0.53x+2.52；
当x=40时，$\widehat{y}$=0.53×40+2.52=23.72，
即预测40秒时的深度23.72微米．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题．