Question

已知有穷数列{a_n}各项均不相等，将{a_n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p_n}，称{p_n}为{a_n}的“序数列”．例如数列：a₁，a₂，a₃满足a₁＞a₃＞a₂，则其序数列{p_n}为1，3，2．
（1）若x，y∈R⁺，x+y=2且x≠y，写出数列：1，xy，

x2+y2

2

的序数列并说明理由；
（2）求证：有穷数列{a_n}的序数列{p_n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a_n}为单调数列；
（3）若项数不少于5项的有穷数列{b_n}、{c_n}的通项公式分别是bn=n•(

3

5

)n（n∈N^*），c_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序数列与{c_n}的序数列相同，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用x+y=2且x≠y，通过二次函数的值域，以及不等式的最值，比较1，xy，

x2+y2

2

的大小，即可得到序数列．
（2）通过证明充分性和必要性，两个方面证明有穷数列{a_n}的序数列{p_n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a_n}为单调数列．
（3）利用数列的表达式，说明当n=1时，b₂＞b₁，当n≥2时，b_n+1＜b_n，推出b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，得到数列{b_n}的序数列为2，3，1，4，…，n．然后利用数列{c_n}结合二次函数的性质，推出4＜t＜5．

解答： 解：（1）因为x+y=2且x≠y，
所以xy=x（2-x）=-（x-1）²+1＜1，…..2’．

x2+y2

2

=

x2+(2-x)2

2

=(x-1)2+1＞1…..4’
故数列1，xy，

x2+y2

2

的序数列3，1，2；…..5’
（2）充分性：因为数列{a_n}是单调数列时，a₁＞a₂＞…＞a_n或a₁＜a₂＜…＜a_n，
所以其序数列为1，2，…，n-1，n或n，n-1，…，2，1均为等差数列；…..8’
必要性：当数列{a_n}的序数列为等差数列时，其序数列必为1，2，…，n-1，n或n，n-1，…，2，1，
所以有a₁＞a₂＞…＞a_n或a₁＜a₂＜…＜a_n，
所以数列{a_n}为单调数列；…..11’
（3）因为bn+1-bn=(

3

5

)n•

3-2n

5

，…..13’
当n=1时，易得b₂＞b₁，当n≥2时，b_n+1＜b_n，
又因b1=

3

5

，b3=3•(

3

5

)3，b4=4•(

3

5

)4，b₄＜b₁＜b₃，
即b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，
故数列{b_n}的序数列为2，3，1，4，…，n，…..16’
所以对于数列{c_n}有c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞…＞c_n，c_n=-n²+tn（n∈N^*），
可得2＜

t

2

＜

5

2

，解得：4＜t＜5…..18’

点评：本题考查数列与函数相结合的综合应用，二次函数的最值以及性质，不等式的应用，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用．