Question

已知曲线E：

x2

m

+

y2

m-1

=1，
（1）若曲线E为双曲线，求实数m的取值范围；
（2）已知m=4，A（-1，0）和曲线C：（x-1）²+y²=16，点P是曲线C上任意一点，线段PA的垂直平分线为l，试判断l与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用曲线E为双曲线，可得m（m-1）＜0，即可求实数m的取值范围；
（2）m=4，曲线方程为

x2

4

+

y2

3

=1，顶点为（±2，0），（0，±

3

），点P是曲线C上任意一点，线段PA的垂直平分线为l，可得l是圆x²+y²=4的切线，从而判断l与曲线的位置关系．

解答： 解：（1）∵曲线E为双曲线，
∴m（m-1）＜0，
∴0＜m＜1；
（2）结论：l与曲线E相切．
证明：当m=4，曲线方程为

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
设P（x₀，y₀），其中（x₀-1）²+y₀²=16
线段PA的中点为Q（

x0-1

2

，

y0

2

），直线AP的概率为k=

y0

x0+1

当y₀=0时，直线l与曲线E相切成立．
当y₀≠0时，直线l的方程为y-

y0

2

=-

x0+1

y0

（x-

x0-1

2

），即y=-

x0+1

y0

x+

x02+y02-1

2y0

，
∵（x₀-1）²+y₀²=16，
∴x₀²+y₀²-1=2x₀+14
∴y=-

x0+1

y0

x+

x0+7

y0

代入3x²+4y²=12，化简得，（x₀+7）²x²-8（x₀+1）（x₀+7）x+16（x₀+1）²=0
∴△=64（x₀+1）²（x₀+7）²-4（x₀+7）²×16（x₀+1）²=0
∴直线l与曲线E相切．

点评：本题考查双曲线、椭圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，确定曲线方程是关键．