Question

在极坐标系中，点O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4，判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设P（ρ，θ）是所求圆上的任意一点，由于OB为直径，可得∠OPB=90°，ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，展开化简再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方为（x-1）²+（y-1）²=2，可得圆C的圆心的坐标为（1，1），半径为

2

，直线l的直角坐标方程为x+y=4，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）设P（ρ，θ）是所求圆上的任意一点，
∵OB为直径，∴∠OPB=90°，
则OP=OBcos(

π

4

-θ)，即ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，
亦即x²+y²-2x-2y=0，
故所求的圆C的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0．
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方为（x-1）²+（y-1）²=2，
圆C的圆心的坐标为（1，1），半径为

2

，
直线l的直角坐标方程为x+y=4，
圆心到直线距离d=

|1+1-4|

2

=

2

，
∴直线与圆相切．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系判定，考查了计算能力，属于基础题．